三角函数友情提醒:由于网站宽度的限制,上传文本可能会出现页面

三角函数

友情提醒：由于网站宽度的限制，上传文本可能会出现页面排版混乱，如果点击下载或全屏查看更好。

查看本科或其他科目更多知识点

考试内容:角概念推广．弧度制．三角函数的任意角．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系。正弦和余弦的诱导公式．正弦、余弦、正切两角和差．正弦，余弦，二倍角，正切．图像和性质的正弦函数，余弦函数．周期函数．函数y=Asin(ωx+φ)的图像．正切函数的图像和性质．已知三角函数值求角．正弦定理．余弦定理．斜三角形解法．

考试要求:(1)理解任意角的概念和弧度的意义，可以正确转换弧度和角度．(2)掌握任何角的正弦、余弦和正切的定义；了解余切、正切、余切的定义；掌握同角三角函数的基本关系；掌握正弦和余弦的诱导公式；了解周期函数和最小正周期的意义．(3)掌握正弦、余弦和正切公式，两角和两角之间的差异；掌握正弦、余弦和正切公式的两倍角．(4)三角公式可以正确使用，简单三角函数式简化、求值和恒等式证明．(5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，用“五点法”绘制正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)理解A的简图.ω、φ的物理意义．(6)已知三角函数值求角，使用符号arcsinxarc-cosxarctanx表示．(7)掌握正弦定理和余弦定理，并可初步利用其解斜三角形．(8)“同角三角函数基本关系类型:sin2α+cos2α=1，sinα/cosα=tanα,tanα•cosα=1”．

解题思路：

关键是审清问题的意思，画出图形，建立解三角形模型，最后回答。

1、解决应用问题的一般步骤是：（1）分析：审查问题，理解问题的含义，区分已知和未知，根据问题的含义绘制意图；（2）建模：三角形和三角形中的已知或未知元素涉及实际问题。将已知量和求解量集中在一个三角形中；（3）求解：利用正弦定理、余弦定理和面积公式有序地解决这些子三角形，以获得数学模型的解决方案。(4)检验:检验所需的解决方案是否符合实际意义，从而得出实际问题的解决方案。

2、应用题中几个角的概念(1)仰角、俯角(2)方向角(3)方向角

三角函数  知识要点

1. ①与（0°≤＜360°）同一个角的集合(角的集合)与角终边重合)：

②x轴末端角的集合：

③y轴末端角的集合：

④坐标轴末端角的集合：

⑤y=x轴末端角的集合：

⑥终边在轴上角的集合：

⑦若角与角关于x轴对称的最终边角与角的关系：

⑧若角与角关于y轴对称的最终边角与角的关系：

⑨若角与角在一条直线上，角的末端与角的关系：

⑩角与角如果角的末端相互垂直，则角的末端相互垂直与角的关系：

2. 角度与弧度的交换关系：360°=2 180°= 1°=0.01745  1=57.30°=57°18′

注：正角弧度为正数，负角弧度为负数，零角弧度为零.

、弧度与角度交换公式：  1rad＝°≈57.30°=57°18ˊ．     1°＝≈0.01745（rad）

3、弧长公式：.       扇形面积公式：

4、三角函数：设置是任意角，在终边上任取(与原点不同)一点P（x,y）如果P与原点的距离为r，则P与原点的距离为r  ；  ；  ；  ；  ；. .

5、各象限三角函数的符号:(一全二正弦，三切四余弦)

6、三角函数线

   正弦线：MP;   余弦线：OM;    正切线： AT.

7. 三角函数的定义域：

8、同角三角函数的基本关系类型：   

9、诱导公式：

“奇变偶不变，符号看象限”

三角函数公式:(1)基本关系

公式组二                  公式组三

公式组四               公式组五               公式组六            

(二)角与角之间的交换

公式组一                                  公式组二

公式组三                    公式组四                                    公式组五

,,,.

10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图像性质:

注意：①与单调正好相反；与单调性也相反。一般来说，如果在上递增(减)，则在上递减(增).

②与的周期是.

③或（）的周期.

的周期为2（，如图所示，折叠无效).

④对称轴方程是（），对称中心（）；对称轴方程是（），对称中心（）；的对称中心（）.

⑤当·；·.

⑥与是同一函数，而且是偶函数，然后

.

⑦函数在上为增函数.（×） [[只能在单调范围内单调递增. 如果是整个定义域，增加函数也是错误的].

⑧定义域关于原点对称具有奇偶性的必要条件不足.(奇偶性有两个条件:一是定义域对称原点(奇偶都需要)，二是满足奇偶性条件，偶函数:，奇函数：）

奇偶性的单调性:奇同偶反. 例如：是奇函数，是非奇非偶.(定义域不关于原点对称)

奇函数的独特性：若定义域，是的一定有.（定义域，则无此性质)

⑨不是周期函数；为周期函数（）；

周期函数(如图所示)；为周期函数（）；

的周期为(如图所示)并非所有周期函数都有最小正周期，例如:

.

⑩ 有.

11、三角函数图像的作法：

１）、几何法：

２）、描点法及其特例-五点作图法(正、余弦曲线)，三点二线作图法(正、余切曲线).

３）、将图像转换为三角函数图像图像．

三角函数的图像变换包括振幅变换、周期变换和相位变换．

函数y＝Asin（ωx＋φ）振幅|A|，周期，频率，相位初相（即当x＝0时的相位）．（当A＞0，ω＞0 上述公式可以去除有效值符号)，

由y＝Sinx图像上点的横坐标保持不变，纵坐标伸长(当|A||＞1)或缩短(当0＜|A|＜1)到原来的|A|倍，得到y＝Asinx图像称为振幅变换或沿y轴伸缩变换．(用y/A替换y)

由y＝Sinx图像上点的纵坐标保持不变，横坐标伸长(0＜|ω|＜1)或缩短(|ω|＞1）到原来的倍，得到y＝sinω x的图像称为周期变换或沿x轴的伸缩变换．(用ωx替换x)

由y＝当sinx图像上的所有点都向左时(φ＞0)或向右(当φ＜0）平行移动｜φ｜单位，得到y＝sin（x＋φ）图像称为相位变换或沿x轴平移．(用x＋φ替换x)

由y＝所有点向上的sinx图像(当b＞0)或向下(当b＜0）平行移动｜b｜一个单位，得y＝sinx＋B的图像称为沿y轴方向平移的图像．（用y+(-b)替换y）

由y＝Sinx的图像使用图像转换为函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）图像，要特别注意：当周期变换和相位变换的顺序不同时，原图像延x轴量伸缩量的差异。

4、反三角函数：

函数y＝sinx，反函数称为反正弦函数，记录y＝arcsinx，它的定义域是［－1，1］，值域是．

函数y＝cosx，（x∈［0，π］）反余弦函数称为反余弦函数，记录y＝arccosx，它的定义域是［－1，1］，值域是［0，π］．

函数y＝tanx，反函数称为反正切函数，记录y＝arctanx，它的定义域是（－∞，＋∞），值域是．

函数y＝ctgx，［x∈（0，π）］反函数称为反余切函数，记录y＝arcctgx，它的定义域是（－∞，＋∞），值域是（0，π）．

反三角函数：⑴反正弦函数是奇函数，所以，(必须注明定义域，如果，没有与一一对应，所以无反函数）

注：，，.

⑵反余弦函数非奇非偶，但是有，.

注：①，，.

②是偶函数，非奇非偶，而和为奇函数.

⑶反正切函数：，定义域，值域（），是奇函数，

，.

注：，.

⑷反余切函数：，定义域，值域（），是非奇非偶.

，.

注：①，.

②与互为奇函数，同理为奇而与非奇非偶只满足.

⑵ 解集正弦、余弦、正切、余切函数：

的取值范围   解集                             的取值范围   解集

①的解集                               ②的解集

＞1                                        ＞1           

=1                  =1  

＜1            ＜1 

③的解集：   

③的解集：

二、三角恒等式.

组一

组二

组三 三角函数不等式

＜＜            在上是减函数

若，则

经典例题：