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复数

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考试内容:复数概念；复数的加减；复数的乘法和除法；补充数系。

复数知识要点：复数是高中代数的重要组成部分，约占盛名大学考试问题的8%-10%。一般来说，一个基本问题和一个中间问题通常与三角形、分析几何、方程、不等式等知识相结合。本章的主要内容是复数的概念、复数的代数、几何、三角形的表达方法和复数的操作。方程、方程组、数字和形状的组合、分域讨论，本章突出了等价转换的数学思想和方法。复数是代数、三角形、分析几何知识和相互转换的枢纽，有利于拓宽学生的思维，提高学生解决综合练习的能力。数字、公式运算和解方程，方程组，不等式是学好本章必须具备的基本技能.简化运算的意识也应该进一步加强.

1.知识网络图

　　二、复数中的难点

　　(1)复数向量表示法的操作。对于复数向量表示部分学生掌握不好，很难灵活掌握向量操作的几何意义。因此，我们应该认真理解复数向量操作的几何意义，并灵活证明它.

　　(2)复数三角形乘客和开方。有些学生知道操作规则，但很难灵活使用，尤其是开方操作，应该认真训练.

　　(3)寻求复数辐角主值的方法.

　　（4）利用复数的几何意义灵活地解决问题。复数可以用向量表示，复数的模具和辐角具有几何意义，难以理解和应用，应认真理解.

　　3.复数中的

　　(1)理解复数的概念，找出实数、虚数和纯虚数的区别.

　　（2）掌握复数的三种表示方法，以及它们之间的相互作用，并能准确地找出复数的模具和辐角。复数有三种表示方法：代数、向量和三角形，特别是代数形式和三角形式的相互作用，以及求复数的模具和辐角，这是解决具体问题时经常使用的关键内容.

　　（3）复数三种表示方法的各种操作在操作中注重共轭复数和模具的相关性质。复数操作是复数的主要内容，掌握各种形式的复数操作，特别是复数操作的几何意义是关键内容.

　　(4)复数集中一元二次方程和二次方程解决方案.

4. ⑴复数的单位是i，它的平方等于－1，即.

⑵复数及其相关概念：

①   复数-形如a + bi的数量(其中）；

②   实数—当b = 0时的复数a + bi，即a；

③   虚数—当时的复数a + bi；

④   纯虚数-当a = 0且时的复数a + bi，即bi.

⑤   复数a + bi的实部和虚部-a叫复数实部，b叫虚部(注意a，b是实数)

⑥   复数集C-全复数集，一般用字母C表示.

⑶两个复数相等的定义:

.

⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.

注：①若为复数，则若，则.（×）[为了复数，而不是实数]

若，则.（√）

②若，则是必要条件不充分.（当，

时间，上式成立)

5. ⑴复平面内的两点间距公式：.

其中是复平面内的两点对应的复数，间的距离.

从上面可以得到：在复平面内为圆心，半径圆的复数方程：.

⑵曲线方程复数形式：

①为圆心，r为半径圆的方程.

②表示线段垂直平分线的方程.

③为焦点，长半轴为a的椭圆方程(如果，这个方程表示线段）.

④表示以为焦点，实半轴长为a的双曲线方程(如果，这个方程表示两条射线).

⑶有效值不等式：

设复数不等于零，则

①.

左边取等号的条件是，在右边取等号的条件是.

②.

左边取等号的条件是，在右边取等号的条件是.

注：.

6. 共轭复数的性质：

，（a + bi）              

（）                             

注：两个共轭复数之间的差异是纯虚数. （×）[差异可能为零，此时两个复数相等]

7%20⑴①复数乘客：

②对任何，及有

③ 

注：①以上结论不能扩展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，比如若由就会得到的错误结论.

②实数集成立. 当为虚数时，，因此，复数集内解方程不能采用两侧平方法.

⑵常用结论：

若是1立方虚数根，即，则                                                  .

8.  ⑴复数是实数和纯虚数的充要条件：

①.

②若，是纯虚数.

⑵无论起点在哪里，模相等、方向相同的向量都被认为是相等的，而相等的向量表示相同的复数. 特例:零向量的方向是任意的，它的模型是零.

注：.

9. ⑴复数三角形式：.

辐角主值：适合于0≤＜的值，记作.

注：①为零时，可取内任意值.

②辐角为多值，两者相差2的整数倍.

③设则.

⑵复数代数形式与三角形式的互化：

，，.

⑶几种三角形的标准形式：

10. 复数集中解一元二次方程：

解决复数集中的问题一元二次方程应注意以下问题：

①当时，若＞0，有两个不同的实数根；若=0.有两相等的实数根；若＜0.有二相等复数根（为共轭复数).

②当不全为实数时，不能使用方程根的情况.

③不论为什么复数可以用求根公式求根，韦达定理也成立了.

11. 复数三角形运算：

迪莫弗定理：