设函数y=f(u)定义域为Du,值域为Mu,函数U=g(x)

设函数y=f(u)定义域为Du，值域为Mu，函数U=g(x）如果Mx的定义域是Dx，值域是Mx∩Du≠Ø，所以对于Mx∩在Du中的任何一个x通过u；变量x和y之间通过变量u形成的函数关系，具有仅此确定的y值对应，称为复合函数。

如何求导复合函数？

f[g(x)]中,设g(x)=u,则f[g(x)]=f(u)，

因此(公式)：f'[g(x)]=f'(u)*g'(x)

哈哈，我们的老师写在黑板上的时候一开始也看不懂，那就举个例子，耐心看！

f[g(x)]=sin(2x)，设g(x)=2x,令g(x)=2x=u,则f(u)=sin(u)

所以f'[g(x)]=[sin(u)]'*(2x)'=2cos(u),用2x代替u，得f'[g(x)]=2cos(2x).

以此类推y'=[cos(3x)'=-3sin(x)

y'={sin(3-x)]'=-cos(x)

一开始做不好，总要比较公式和例子，

但只要多练习，记住公式，最重要的是记住一两个例子，多练习。

复合函数求导法则

证法一:首先证明引理

f(x)点x0可导的充电条件是在X0的一个邻域U(X0)中，点x0中有一个连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-从而f'x0);(x0)=H(x0)

证明：设f(x)x0可导，令 H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心邻域)；H(x)=f'(x0),x=x0

因lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0)

所以H(x)连续点x0，f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)

相反，H存在(x),x∈U(x0)，它在点x0连续，f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)

由于极限lim的存在(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f'(x)=H(x0)

所以f(x)点x0可导，f'(x0)=H(x0)

引理证毕。

设u=φ(x)在点u0可导，y=f(u)在点u0=φ(x0)可导，复合函数F(x)=f(φ(x))可导x0，F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)

证明：由f(u)在u0可导，引理的必要性存在于点u0连续函数H(u),使f'(u0)=H(u0)，f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)

又由u=φ(x)同样，在x0可导中也有一个在点x0连续函数G(x),使φ'(x0)=G(x0),且φ(x)-φ(x0)=G(x)(x-x0)

于是就有，f(φ(x))-f(φ(x0))=H(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=H(φ(x))G(x)(x-x0)

因为φ，G在x0连续，H在u0=φ(x0)连续，所以H(φ(x))G(x)F可以通过x0连续引理的充分性来知道(x)可以导入x0，并且

F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)

证法二：y=f(u)在点u可导，u=g(x)点x可导，复合函数y=f(g(x))点x0可导，dy//dx=(dy/du)*(du/dx)

证明:因为y=f(u)在u可导，lim(Δu->0)Δy/Δu=f'(u)或Δy/Δu=f'(u)+α(lim(Δu->0)α=0)

当Δu≠0，用Δu乘等式两侧得，Δy=f'(u)Δu+αΔu

但当Δu=0时，Δy=f(u+Δu)-f(u)=因此，上等式仍然成立。

又因为Δx≠0,用Δx除以等式两侧，并要求Δx->0的极限，得

dy/dx=lim(Δx->0)Δy/Δx=lim(Δx->0)[f'(u)Δu+αΔu]/Δx=f'(u)lim(Δx->0)Δu/Δx+lim(Δx->0)αΔu/Δx

又g(x)在x处连续(因为它可以导)，所以当Δx->0时，有Δu=g(x+Δx)-g(x)->0

则lim(Δx->0)α=0

最后有dy//dx=(dy/du)*(du/dx)