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函数的奇偶性

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知识点概述

1. 理解函数的奇偶性及其几何意义； 

2. 学会判断函数的奇偶性； 

3. 学习运用函数图像来理解和研究函数的性质.

一、定义

对于函数f(x)，如果定义域内的任何x都有f，(-x)=-f(x)，那么f(x)为奇函数;

对于函数f(x)，如果定义域内的任何x都有f，(-x)=f(x)，那么f(x)为偶函数;

奇迹函数：关于原点对称。(做题时可以考虑特殊值法)，f（0）=0）。F（-x）= -f（x）

偶函数：关于y轴对称。F（-x）=f（x）

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二、函数f（x）的奇偶性

(1)函数定义域中的任何x都有f（-x）=－f（x），那么函数f（x）叫奇函数。

(2)如果函数定义域中的任何一个x都有f，（-x）=f（x），那么函数f（x）称为偶函数。

(3)函数定义域中的任何x，f（-x）=-f（x）与f（-x）=f（x）同时成立，然后函数f（x）它既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

(4)函数定义域中的任何x，f（-x）=-f（x）与f（-x）=f（x）如果不能建立函数f，那么函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数，称为非奇非偶函数。

说明：①对于整个定义域来说，奇、偶性是函数的整体性质

②奇、偶函数的定义域必须是关于原点对称的，如果一个函数的定义域不是关于原点对称的，那么这个函数一定不是奇(或偶)函数。

(分析:判断函数的奇偶性，首先是检查其定义域是否关于原点对称，然后严格按照奇偶性的定义简化、整理、与f相匹配（x）比较得出结论)

③判断或证明函数是否奇偶的依据是定义

三、性质

　　(1)函数按奇偶性分类可分为:奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数；

　　(2) f(x),g(x)D的定义域;

　　(3)图像特征:奇函数图像对称原点；偶函数图像对称原点；

　　(4)定义域对称原点是函数具有奇偶性的必要条件和不足条件，奇函数f(x)如果在原点上有定义，则有f(0)=0;

　　(5)任何定义域关于原点对称的函数f(x)一般可以表示为奇函数与偶函数之和的形式：f(x)=g(x)+h(x)，其中g(x)=-[f(x)+f(-x)]为偶函数，h(x)=-[f(x)-f(-x)]为奇函数;

　　(6)奇函数在原点对称范围内具有相同的单调性，偶函数在原点对称范围内具有相反的单调性。

四、奇偶函数图像的特征

对原点成中心对称图表的定理奇函数图像，对y轴或轴对称图形的偶函数图像。

f（x）为奇函数《＝＝》f（x）关于原点对称的图像

点（x，y）→（-x，-y）

奇函数在一定范围内单调递增，在其对称范围内单调递增。

偶数在一定范围内单调递增，在其对称范围内单调递减。

五、奇偶函数运算

(1)两个偶函数加起来的和为偶函数。

(2)两个奇函数加起来的和为奇函数。

(3)一个偶函数与一个奇函数相加得到的和是非奇函数和非偶函数。

(4)两个偶函数相乘得到的积为偶函数。

(5)两个奇函数相乘得到的积为偶函数。

(6)一个偶函数与一个奇函数相乘得到的积为奇函数。

六、扩展

　　(1)一般来说，对于函数y=f(x)，定义域内每个自变量x都有f(a+x)=2b-f(a-x)，则y=f(x)关于点的图像(a,b)中心对称；

　　(2)一般来说，函数y=f(x)，定义域内每个自变量x都有f(a+x)=f(a-x)，它的图像是x=a成轴对称。

利用函数的奇偶性求值

利用函数的奇偶性和单调性比较值

利用奇偶性求函数分析